Ein tau-Paar ist ein Paar ( c | d ) ganzer Zahlen mit:
(1) c und d sind teilerfremd, (2) 0 ≤ c < d, (3) eine der Zahlen ist gerade, die andere ist ungerade.
Satz 1
( 2c - d | c ), falls d < 2c
(Fall A)
Die Abbildung
: ( c | d ) --> ( c* | d* ) =
( d - 2c | c ), falls 2c < d < 3c
(Fall B)
( c | d - 2c ), falls 3c < d
(Fall C)
ordnet jedem tau-Paar ( c | d ) mit 2 < d ein "reduziertes" tau-Paar ( c* | d* ) zu mit d*< d.
Aus dem tau-Paar ( 1 | 2 ) läßt sich jedes tau-Paar ( c | d ) mit 2 < d auf genau eine Weise gewinnen durch eine Abfolge ("Sequenz") von Abbildungen A, B oder C (die jeweiligen Umkehrabbildungen von R), die hintereinander auf ( 1 | 2 ) angewendet werden, mit den Abbildungsvorschriften:
: ( c | d ) --> ( d | 2d - c ),
: ( c | d ) --> ( d | 2d + c ) oder
: ( c | d ) --> ( c | 2c + d ).
Satz 2
( c | d ) <---> ( d
2
- c
2
| 2cd | d
2
+ c
2
)
ist eine umkehrbare Abbildung der Menge aller tau-Paare auf die Menge aller
pythagoräischen Tripel
( x | y | z ) mit x
2
+ y
2
= z
2
, x ungerade und x,y teilerfremd.
Satz 3
Zu jedem tau-Paar ( c | d ) mit 0 < c gibt es genau ein "zugeordnetes" tau-Paar ( a | b ) mit a < b,c < d und ad - bc = ±1. Man erhält ( a | b ), indem man die nach Satz 1 zu ( c | d ) führende Sequenz nicht auf ( 1 | 2 ), sondern auf
( 0 | 1 )
anwendet.
Satz 4
Es sei ( c | d ) ein tau-Paar mit 0 < c und ( a | b ) das tau-Paar mit a < b,c < d und ad - bc = ±1.
Ferner seien n = ac + bd, r = bd - ac und s = ad + bc. Dann sind n und r gerade, s ist ungerade und es gilt:
(*) n
2
+ 1 = r
2
+ s
2
.
Umgekehrt existiert zu jedem Tripel ( n | r | s ) natürlicher Zahlen mit geradem n und r und ungeradem s, das (*) erfüllt, genau ein tau-Paar ( c | d ), derart, dass mit dem nach Satz 3 zugeordneten tau-Paar ( a | b ) die Gleichungen ad - bc = ±1, n = ac + bd, r = bd - ac und s = ad + bc gelten. Für
ergeben sich die
Zahlen a, b, c und d
aus n, r und s so: Berechne
h:=ggT(n-r|s-1)
und
k:=ggT(n-r|s+1)
;
es ist n-r = hk
:
2. Im Fall
gilt
a=h
:
2,
b=(s+1)
:
k,
c=k
:
2,
d=(s-1)
:
h
; im Fall
gilt
a=k
:
2,
b=(s-1)
:
h,
c=h
:
2
und
d=(s+1)
:
k.
Satz 5
Es sei ( c | d ) ein tau-Paar mit 0 < c und ( a | b ) das zugeordnete tau-Paar. Dann ist ( b | d ) ein tau-Paar mit zugeordnetem tau-Paar ( a | c ) und die zu ( b | d ) gehörende Sequenz ist das
der zu ( c | d ) gehörenden Sequenz.
Satz 6
Es sei ( c | d ) ein tau-Paar mit 0 < c und ( a | b ) das tau-Paar mit a < b,c < d und ad - bc = ±1.
Ferner seien n = ac + bd, p = a
2
+ b
2
und q = c
2
+ d
2
. Dann ist n gerade, und es gilt p < q, sowie:
(**) n
2
+ 1 = pq.
Umgekehrt existiert zu jedem Tripel ( n | p | q ) natürlicher Zahlen mit geradem n und p < q, das (**) erfüllt, genau ein tau-Paar ( c | d ), derart, dass mit dem nach Satz 3 zugeordneten tau-Paar ( a | b ) die Gleichungen
ad - bc = ±1,
n = ac + bd, p = a
2
+ b
2
und q = c
2
+ d
2
gelten. Das tau-Paar ( c | d ) berechnet sich aus den Zahlen
und
wie folgt: Das Paar ( n | q ) ist ein
mit einer palindromischen Sequenz aus ungerade vielen Buchstaben mit mittlerem Buchstaben B. Werden aus der Sequenz alle Buchstaben links vom mittleren B und zusätzlich dieses B
, so ergibt sich die Sequenz für ( c | d ).
Satz 7
Es sei q eine Primzahl von der Form q = 4k + 1. Dann gibt es genau ein tau-Paar ( c | d ) mit q = c
2
+ d
2
.
Das Paar ( c | d ) erhält man aus
wie folgt:
Die Abbildung
i: x --> y,
wobei
( a | y )
das dem tau-Paar
( x | q )
zugeordnete tau-Paar bedeutet, ist eine Bijektion der Menge der 2k - 1 Zahlen
{
= 2, 4, ... q-3 }
mit i(i(x)) = x. Die Abbildung i besitzt genau einen
z.
Die zum tau-Paar ( z | q ) gehörende Sequenz ist ein Palindrom mit dem mittleren Buchstaben B. Werden aus der Sequenz alle Buchstaben links vom mittleren B und zusätzlich das B
, so ergibt sich die zu ( c | d ) führende Sequenz.
Satz 8
Es seien ( c
1
| d
1
) und ( c
2
| d
2
) tau-Paare mit
2 < q
1
= c
1
2
+ d
1
2
und
2 < q
2
= c
2
2
+ d
2
2
.
Die Zahlen q
1
und q
2
seien teilerfremd. Dann gibt es mindestens zwei verschiedene tau-Paare ( c | d ) mit
c
2
+ d
2
= q
1
q
2
=: q.
Diese ergeben sich aus
c
1
:
,
d
1
:
,
c
2
:
und
d
2
:
wie folgt: ( a
i
| b
i
) sei das ( c
i
| d
i
) zugeordnete Paar.
n
1
= a
1
c
1
+ b
1
d
1
und
n
2
= a
2
c
2
+ b
2
d
2
.
Es gibt für
q = q
1
q
2
genau zwei verschiedene gerade Zahlen
n
mit
1 < n < q
und
n = t
1
q
1
± n
1
= t
2
q
2
± n
2
(t
1
, t
2
ganzzahlig).
eine dieser Zahlen n, es ist q ein Teiler von
n
2
+ 1,
dazu gehört (Satz 6) ein tau-Paar
( c | d )
mit
q = c
2
+ d
2
.
Dabei gilt entweder
( c / d ) = ( |c
1
d
2
- d
1
c
2
| / c
1
c
2
+ d
1
d
2
)
oder
{ c , d } = { d
1
d
2
- c
1
c
2
, c
1
d
2
+ d
1
c
2
}.
Satz 9
Es sei w eine ungerade Zahl mit 1 < w. Zu jeder Produktdarstellung w = uv mit teilerfremden Faktoren
u < v
gehört das tau-Paar ( c | d ) mit u = c - d, v = c + d,
w = d
2
- c
2
.
Die Zahl r = bd - ac ist gerade, erfüllt r < w und w teilt r
2
- 1.
Umgekehrt gibt es zu jedem Paar ( r | w ) mit ungeradem w und geradem r, das 2 ≤ r ≤ w - 3 sowie w | r
2
- 1 erfüllt, genau ein tau-Paar ( c | d ) mit
w = d
2
- c
2
und r = bd - ac, das man wie folgt aus
gewinnt:
Die Abbildung
i: x --> y,
wobei
( a | y )
das dem tau-Paar
( x | w )
zugeordnete tau-Paar bedeutet, ist eine Bijektion der Menge
{
| 2 ≤ x ≤ w-3 und aw - xy = -1 }
mit i(i(x)) = x. Die Zahl r ist ein
der Abbildung i.
Die zum tau-Paar ( r | w ) gehörende Sequenz ist ein Palindrom mit dem mittleren Buchstaben A. Werden aus der Sequenz alle Buchstaben links vom mittleren A und zusätzlich das A
, so ergibt sich die zu ( c | d ) führende Sequenz und die Produktdarstellung
w = ( d - c )( d + c )
.