Ein perfekter magischer 5x5x5-Würfel besteht aus 125 ganzen Zahlen derart, dass die 5 Einträge in jeder geraden Linie und in jeder Diagonalen
(räumlich oder eben) die Summe 315 besitzen. Der erste solche Würfel mit den Einträgen 1,2,...,125 wurde im November 2003 von W. Trump gefunden.
Sind zusätzlich alle 6 äußeren magischen Quadrate pandiagonal (die Einträge auch der gebrochenen Diagonalen haben Summe 315), dann handelt es sich um einen perfekten magischen Würfel mit pandiagonalen Außenquadraten.
Ein 5x5x5-Würfel ist "zentralsymmetrisch", wenn je zwei zentralsymmetrisch zum Würfelmittelpunkt gelegene Einträge immer die Summe 126 haben.
Diese Webseite dient dem Beweis von folgendem:
Satz Jeder perfekte magische 5x5x5-Würfel mit pandiagonalen Außenquadraten ist "zentralsymmetrisch".
Beweis Die 125 Einträge des Würfels werden mit c001, c002,...,c125 bezeichnet. Die Nummerierung erfolgt von vorn nach hinten und in jedem zur Vorderseite parallelen 5x5-Quadrat von links oben nach rechts unten, wie in der Abbildung rechts oben (blau) dargestellt; zusätzlich sind die Würfelschichten in der Ansicht von oben (gelb) und der Ansicht von rechts (grün) wiedergegeben. Von den einen perfekten magischen Würfel mit pandiagonalen Außenflächen definierenden Gleichungen "Summe=315" wurde eine Auswahl von 121 Gleichungen Nr. 001 bis Nr. 121 gebildet, die jeweils repräsentiert sind durch 5 Plätze für Einträge mit Summe 315, zwei Schaltknöpfe (rot und grün) und ein
Zählfeld. Nach Anklicken eines roten Schaltknopfs wird durch Drücken der Leertaste die zugeordnete Gleichung (*+*+*+*+*=315) einmal subtrahiert (und durch gedrückt lassen mehrfach), der grüne Schaltknopf bewirkt Addition. Im Zählfeld wird angezeigt, wie oft eine Gleichung addiert (bzw. bei negativem Eintrag, subtrahiert) wurde. Das Ergebnis aller durchgeführten Subtraktionen und Additionen wird im "Display" unten angezeigt.
Vermöge von Drehungen des Würfels im Raum sowie Spiegelungen an Ebenen, genügt es, "Zentralsymmetrie" für die 9 Einträge c001, c002, c003, c007, c008, c013,
c032, c033 und c038 nachzuweisen. Mit Hilfe des obigen "Calculators" können u.a. folgende Gleichungen berechnet werden:
25c001+25c125=25x126, 50c002+50c124=50x126, 25c003+25c123=25x126, 25c007+25c119=25x126, 50c008+50c118=50x126, 5c013+5c113=5x126, 75c032+75c094=75x126, 75c033+75c093=75x126 und 15c038+15c088=15x126.
Wird einer der 9 (grauen) Schaltknöpfe c001, c002,...,c038 angeklickt, so erscheint im Display die nachzuweisende Gleichung, und in den Zählfeldern der 121 definierenden Gleichungen wird angezeigt, wie oft die jeweilige Gleichung addiert wurde. Durch Anklicken der roten und grünen Schaltknöpfe im Zusammenspiel mit der Leertaste können die Einträge aller Zählfelder auf Null gebracht werden; dann erscheint in Display unten das Ergebnis 0=0. Da die vorgenommenen Rechenoperationen sämtlich umkehrbar sind, können folglich die zu zeigenden 9 Gleichungen mit Hilfe geeigneter Additionen und Subtraktionen aus den 121 definierenden Gleichungen und der Startgleichung 0=0 hergeleitet werden. Damit ist der Satz bewiesen.
Bemerkung Bei W. Trump und in: "Gleichungen für zentralsymmetrische perfekte 5x5x5-Würfel" wurde gezeigt, dass solche Würfel nicht aus genau den Zahlen 1,2,...,125 bestehen können, somit gilt:
Folgerung Ein perfekter magischer Würfel mit pandiagonalen Außenquadraten aus genau den Zahlen 1,2,...,125 existiert nicht.
Jedoch gibt es perfekte magische Würfel mit pandiagonalen Außenquadraten mit paarweise verschiedenen Einträgen und 315er-Summen mit Zahlen aus größeren Intervallen. Das kleinste solche Intervall mit Intervallmitte 63 ist [-129,255].
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